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EXP_02

🧲 帶電粒子在磁場中

實驗介紹

帶電粒子進入磁場之後會怎麼走？

答案是繞圈。而且不是隨便繞 —— 半徑由 $r = \frac{mv}{\lvert q \rvert B}$ 決定，繞一圈的時間由 $T = \frac{2\pi m}{\lvert q \rvert B}$ 決定。

畫面上一顆粒子在均勻磁場中繞圈。虛線圓是公式預測的軌道，實線是粒子實際走過的路 —— 兩條必須完全重合。拉「速率 v」滑桿時圓會變大，但粒子繞一圈還是花一樣的秒數；只有拉「磁場 B」滑桿，快慢才會改變。

物理知識

核心概念

磁場對運動電荷的力永遠垂直於速度。 這是洛倫茲力 $F = qvB$ 最特別的地方 —— 它不像重力或彈力會把東西往前推或往後拉，它只把粒子轉向。所以速率不變、方向一直變，走出來的必然是圓。

圓周運動的週期與速率無關。 速率加倍時，粒子理論上可以更快繞完一圈，但半徑也同步加倍了 —— 路程變兩倍、速度變兩倍，時間剛好不變。真正決定快慢的只有 $m$、$q$、$B$。

帶負電的粒子反向繞。 力是 $q\vec{v}\times\vec{B}$，$q$ 變號，力的方向就整個反過來。所以同樣的磁場裡，電子順時針、質子逆時針。

真實的尺度差三個數量級。 同樣的條件下，電子的圓半徑是 0.85 mm，質子是 1.57 m，α 粒子是 3.11 m。畫面上三個圓一樣大，是因為每一種粒子有自己的放大倍率 —— 左下角的比例尺就是在說明這件事。

核心公式

\[F = qvB \qquad r = \frac{mv}{\lvert q \rvert B} \qquad T = \frac{2\pi m}{\lvert q \rvert B}\]
符號 意思
$q$ 電荷量（C），電子是 $-1.6\times10^{-19}$，質子是 $+1.6\times10^{-19}$
$v$ 速率（m/s），必須垂直於磁場
$B$ 磁場（T），畫面上是垂直穿出或穿入螢幕
$m$ 質量（kg）—— 質子比電子重 1836 倍，圓就大 1836 倍
$r$ 圓周半徑（m）
$T$ 週期（s），繞一圈的時間

第一個式子是大小（力有多大），後兩個是它推導出來的結果：$F$ 提供向心力，所以 $qvB = \frac{mv^2}{r}$，整理一下就是 $r$。

從畫面看出端倪

  • 虛線與實線重合：公式算出來的圓，就是粒子真的會走的路。兩條分開就代表程式或物理錯了
  • 紫色箭頭 $v$、綠色箭頭 $F$：兩枝箭頭永遠夾 90°，而且 $F$ 永遠指向圓心
  • 拉 v：圓變大、粒子跑得快，但繞一圈的秒數不動
  • 拉 B：圓變小、繞一圈變快 —— $T$ 只跟 $B$ 有關
  • 切換粒子：質量越大圓越大、繞得越慢；電子（負電）連方向都反過來

生活中的帶電粒子

  • 📺 舊式電視機：電子束被磁場偏折，掃出整個畫面，一秒掃 15,000 次以上
  • 🔬 質譜儀：把分子打成離子送進磁場，質量不同的離子半徑不同，就分開了
  • ⚛️ 迴旋加速器：用固定頻率的電場加速粒子。之所以可行，正是因為 $T$ 不隨速率改變
  • 🌍 極光：太陽風的帶電粒子沿著地球磁力線盤旋而下，撞到高空氣體發光
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📊 實驗探究思考

  1. 只拉「速率 v」滑桿，圓變大了，但繞一圈的秒數為什麼完全沒變？什麼時候繞一圈才會變快？
  2. 把粒子從電子換成質子，圓的旋轉方向反過來了。電子帶負電，這件事說明了力的方向跟什麼有關？
  3. 畫面上的電子圓和質子圓一樣大，但它們的真實半徑差了 1800 倍。左下角的比例尺怎麼看出這件事？
  4. 迴旋加速器把粒子加速到越來越快，卻只送一個固定頻率的電場進去。為什麼這樣行得通？