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EXP_01

🔥 熱傳導

實驗介紹

這是一根 4 公分長的棒子，左端接著一個固定溫度的水浴，右端接著另一個。按下開始之後，棒子上每一點的溫度會慢慢從一條平線變成一條斜直線——那就是熱傳導最後的穩定狀態。

畫面上同時有四件事在講同一根棒子：

  • 顏色：棒子上每一點的顏色就是它的溫度
  • 白色的點：那是棒子裡的分子，抖動的幅度由它自己那個位置的溫度決定
  • 右下角的圖：把棒子上每一點的溫度畫成 T(x) 曲線
  • 右邊的卡片：k、P、q、R 這幾個數字

四者讀的是同一份溫度分布，所以永遠互相吻合。

物理知識

熱是怎麼「傳」過去的？

把金屬棒的一端放在火上，另一端過一會兒也會燙。中間沒有任何東西流過去——能量是靠鄰居互相撞擊傳的：熱端的分子抖得凶，撞到隔壁，把一部分能量交出去；隔壁再撞下一個。一個傳一個，能量就往冷端走了。

所以在這個實驗裡，「熱的地方分子抖得厲害」不是比喻，而是同一份溫度的另一個長相：抖動幅度正比於 √T（T 要用克氏溫標）。

傅立葉定律

\[\begin{aligned} q &= -k\frac{dT}{dx} \\[2pt] P &= \frac{kA\,(T_1 - T_2)}{L} \end{aligned}\]
  • $q$：熱流密度，每秒每平方公尺穿過去多少能量（W/m²）
  • $k$：熱導率，材料自己的性質。銅 401、木材 0.15（W/(m·K)）
  • $\dfrac{dT}{dx}$：溫度梯度。負號的意思是「熱往溫度下降的方向流」
  • $P$：整根棒子每秒搬過去的總功率（W），等於 $q$ 乘上截面積

為什麼穩定之後是一條直線？

穩定狀態（穩態）的意思是「每一點的溫度都不再變」。如果某一小段左右兩邊流進來的能量不一樣，那一小段就會繼續升溫或降溫——所以穩態的條件就是每一個截面每秒通過的能量都相同。

$P$ 固定、$A$ 固定、$k$ 固定，$q = -k\,dT/dx$ 就要求 $dT/dx$ 處處相同——斜率固定的函數就是直線。

熱阻：跟電路一樣的想法

\[R = \frac{L}{kA}\]

把「溫差」想成電壓、「熱流」想成電流，這根棒子就是一個電阻：溫差越大流得越快，$R$ 越大流得越慢。銅棒的熱阻只有約 1 K/W（1 瓦可以撐住 1 度的溫差），木棒是 2667 K/W——同一個溫差下只能搬過去 0.075 瓦。

為什麼要「時間壓縮」？

銅的熱擴散率是木材的 790 倍。同一根 4 公分的棒子，銅 5.6 秒就走到穩態，木材要 1.2 小時。

如果照真實時間播，木材那條曲線要兩小時才會變成直線，畫面上一動也不動。所以程式讓每一種材質都在同樣的 6 秒畫面時間裡走完自己的過程——但卡片上的「已過時間」和「時間壓縮」印的是真實數字：

材質 畫面 6 秒 ≈ 真實 時間壓縮
銅 5.6 秒 ×0.9（幾乎是真實速度）
鐵 29 秒 ×4.8
玻璃 23 分鐘 ×227
木材 1.2 小時 ×736

「木材隔熱」的意思就是：同樣一段畫面時間裡，它只過了 0.008 秒。

生活中的熱傳導

現象 為什麼
🍳 鍋子用金屬、握把用塑膠或木頭 金屬 $k$ 大（傳熱快），木頭 $k$ 小（隔熱）
🧊 保溫瓶的內膽用玻璃、中間抽真空 玻璃 $k$ 小，真空根本沒有分子可以撞
🚀 太空梭外層貼隔熱磚 再入大氣時外表面一千多度，艙內要維持常溫
🧤 摸鐵欄杆比摸木欄杆冷 兩者溫度一樣，但鐵把體溫搬走得快——「冷」是熱流出去的速度，不是溫度
// REAL-TIME DASHBOARD
// HEIGHT GRAPH

📊 實驗探究思考

  1. 把材質從銅換成木材，畫面上的「時間壓縮」變成幾倍？為什麼兩者的差別會這麼大？
  2. 銅的熱導率是木材的 2670 倍。但畫面上那條「穩態」的參考線（灰色的虛線）從頭到尾都沒動過——為什麼穩態的形狀和材質無關？
  3. 切到只看分子，比較棒子左端和右端的分子。它們的抖動幅度相差多少？如果是 0 °C 和 400 °C，這個差距是幾倍？
  4. 加熱一段時間之後，把左端溫度滑桿拉高。曲線要多久才會變成新的直線？跟一開始從平線變成直線的時間比較，哪個比較快？