🪢 駐波與諧音 - Physics Lab

實驗介紹

彈吉他的人都知道：弦調緊一點，音就變高。但為什麼一根弦只能發出特定的幾個音，而不是隨便什麼頻率都可以？

畫面上一條兩端固定的繩子，我們不送波進去，而是直接讓它以某個模式振動起來。答案是：只有波長符合 $L = n\lambda/2$ 的振動活得下來，其他的會自己和自己打架、互相抵消。

畫面上有兩條 lane：上面是駐波本身（紅色小點是永遠不動的節點），下面是它的分解——拆成兩個方向相反的行進波，再加上它們的和。那條和會跟上面那條駐波一模一樣。

左邊可以選兩端都固定或左端固定、右端自由，並調整模式 n 和腹點振幅 A。

模式 n 在兩種端點條件下都是同一個編號：兩端固定時 $L = n\lambda/2$，$n$ 可以是 1、2、3…；一端自由時 $L = n\lambda/4$，而 n 只能是奇數（1、3、5…）——切過去的時候滑桿上的數字會跟著換成 1、3、5、7、9。

兩端都固定，所以兩端位移永遠是零。能同時滿足 $x = 0$ 與 $x = L$ 都是零、而且一直保持下去的波形只有一種：

\[y(x,t) = A\sin(kx)\cos(\omega t)\]

其中 $k = n\pi/L$，而 $n = 1, 2, 3, \dots$。因為 $k = 2\pi/\lambda$，代進去就得到弦長裡剛好要塞進整數個半波長：

\[L = n\frac{\lambda}{2}\] \[f = \frac{v}{\lambda} = \frac{nv}{2L}\]

弦長裡剛好要塞進整數個半波長。 塞不進整數個的波會在端點留下不為零的位移，就活不下去。$n = 1$ 叫基頻，$n = 2, 3, \dots$ 叫泛音或諧音，頻率剛好是基頻的整數倍——頻率被鎖在整數倍上，耳朵才聽得出和諧，這就是樂器有音高的原因。

位置	名字	位移	在哪裡
永遠不動	節點	0	兩端固定共 $n+1$ 個；一端自由只有 $(n+1)/2$ 個（右端是腹點，不是節點）
動得最厲害	腹點	最大 $= A$	兩個節點正中間

相鄰兩個節點的距離永遠是 $\lambda/2$——這是駐波最好用的特徵，在畫面上量出節點間距就等於量到了半個波長。

駐波不是一種新的波，它就是兩個方向相反的行進波疊加出來的：

\[\begin{aligned} &\tfrac{A}{2}\sin(kx - \omega t) \\ +\ &\tfrac{A}{2}\sin(kx + \omega t) \\ =\ &A\sin(kx)\cos(\omega t) \end{aligned}\]

左邊那兩項就是下面那條 lane 畫的兩條淡色波形，各以 $v$ 往相反方向跑。相加之後時間的部分只剩 $\cos(\omega t)$、位置的部分只剩 $\sin(kx)$，兩者分離了，所以波形不會前進，只是原地上下跳。兩條行進波各只有 $A/2$，在腹點同相相加變成 $A$。

固定端要求位移為零，自由端要求斜率為零，兩個條件一起解得

\[L = n\frac{\lambda}{4}\qquad n = 1, 3, 5, \dots\]

也就是弦長是四分之一波長的奇數倍，頻率是基頻的 1、3、5、7…倍。

n 只能是奇數，這一點值得多想一秒：$n$ 取偶數時，$x = L$ 也會落在零點上，右端就不再是自由端而是固定端了——那個波形根本不符合「右端可以自由擺動」這個條件，所以它不存在。滑桿上不會出現 2、4、6，就是這個原因。

這就是為什麼同樣長度的管子，一端開口（笛子）和兩端封閉吹出來的音高不一樣——開口端是自由端、封閉端是固定端，泛音結構天生就不一樣。

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