⚾ 拋體運動模擬

實驗介紹

本實驗模擬物體在理想狀態下的拋體運動（忽略空氣阻力）。您可以透過左側的控制面板調整初速度、發射角度與初始高度。

畫面上鋪著一公尺一格的格線：發射柱上有一把高度尺，地面上有一把水平尺，兩把尺的原點都在發射點與地面的交會處。整條彈道會先用灰色虛線淡淡畫好——還沒發射就看得到球會走的那條路；按下「發射」之後，球沿著它飛行，走過的那一段變成淺藍色實線。

每隔固定的時間，畫面上會留下一個橙色的閃光點。發射點旁邊還有一顆灰色球，它只做豎直方向的運動，那條水平虛線把它和拋體連起來，兩顆球永遠一樣高。

按下「發射」後，畫面上會顯示三組速度向量：紅色為合速度 $v$，綠色為水平分量 $v_x$，紫色為垂直分量 $v_y$，幫助您即時觀察速度的分解與變化。

拉「初速度」、「發射角度」、「初始高度」：彈道會即時重畫，格線也跟著重新縮放。
切「畫面模式」：「完整」看速度向量；「只看閃光點」換成等時距格線（數間距用）；「只看分解」換成地面上的投影圈。
拉「閃光間隔 Δt」：閃光點變疏或變密。

物理知識與公式

運動分解

拋體運動可以分解為兩個獨立的運動：

水平方向：不受力，做等速直線運動
垂直方向：受重力作用，做等加速度運動

初速度分解

設初速度為 $v_0$，發射角度為 $\theta$，則：

\[v_{0x} = v_0 \cos\theta\] \[v_{0y} = v_0 \sin\theta\]

位置方程

\[x(t) = v_0 \cos\theta \cdot t\] \[y(t) = h_0 + v_0 \sin\theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2\]

其中 $h_0$ 為初始高度，$g = 9.81 \, \text{m/s}^2$ 為重力加速度。

速度方程

\[v_x(t) = v_0 \cos\theta \quad \text{（恆定）}\] \[v_y(t) = v_0 \sin\theta - gt\] \[v(t) = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\]

最高點

到達最高點時，$v_y = 0$，所需時間為：

\[t_{\text{peak}} = \frac{v_0 \sin\theta}{g}\]

最大高度為：

\[y_{\text{max}} = h_0 + \frac{(v_0 \sin\theta)^2}{2g}\]

等時距的閃光點

每隔 $\Delta t$ 留下一顆閃光點，第 $k$ 顆出現在 $t = k\,\Delta t$：

\[x_k = v_0\cos\theta \cdot k\,\Delta t\] \[y_k = h_0 + v_0\sin\theta \cdot k\,\Delta t - \frac{1}{2}g\,(k\,\Delta t)^2\]

水平方向每一段的位移都一樣（$v_0\cos\theta\,\Delta t$，因為水平是等速），豎直方向每一段都不一樣：

\[\Delta y_k = y_k - y_{k-1} = v_0\sin\theta\,\Delta t - \frac{1}{2}g\,(2k-1)\,\Delta t^2\]

相鄰兩段的差是一個定值：

\[\Delta y_{k+1} - \Delta y_k = -g\,\Delta t^2\]

這是等加速度運動的指紋：每過一個 $\Delta t$，豎直位移就固定少掉 $g\,\Delta t^2$ ——「往上飛、愈來愈慢」與「往下掉、愈來愈快」是同一條式子。

$\theta = 90^\circ$ 的垂直上拋、以及從最高點之後的那一段，$v_0\sin\theta$ 那一項會消失，豎直位移比才是 $1:3:5:7\cdots$；斜拋的一般情形是等差，不是這個比值。

用預設值（$v_0 = 30$ m/s、$\theta = 30^\circ$、$h_0 = 15$ m、$\Delta t = 0.5$ s）算一次， $T = 3.85$ s、$R = 100.08$ m，發射之後一共留下 7 顆閃光點：

第 k 顆	時間 t (s)	水平位置 x (m)	高度 y (m)	豎直位移 Δy (m)
起點	0.0	0.00	15.00	——
1	0.5	12.99	21.27	+6.27
2	1.0	25.98	25.10	+3.82
3	1.5	38.97	26.46	+1.37
4	2.0	51.96	25.38	−1.08
5	2.5	64.95	21.84	−3.54
6	3.0	77.94	15.86	−5.99
7	3.5	90.93	7.41	−8.44

水平那一欄每一格都是 12.99 m（$= 30\cos 30^\circ \times 0.5$）；豎直位移那一欄（6.27 → 3.82 → 1.37 → −1.08 → ……）每往下一段就少 2.45 m，而 $g\,\Delta t^2 = 9.81 \times 0.5^2 = 2.45$。

對照球與運動的獨立性

灰色那顆球的豎直初速和拋體完全一樣（$v_{0y} = v_0\sin\theta$），差別只在它沒有水平初速。兩者的豎直方向走的是同一條式子，所以任何一刻都同高，也同時落地：水平方向做了什麼，一點都不影響它掉下來的快慢。

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📊 實驗探究思考

在初速度固定的情況下，以哪個角度發射可以獲得最大的水平射程？
嘗試以 $30^\circ$ 和 $60^\circ$ 分別發射一次，觀察它們的落地點，你發現了什麼物理現象？
當飛行時間達到最高點時，垂直方向的速度是多少？
在「只看閃光點」模式裡量一量：相鄰兩顆閃光點的水平距離每一段都一樣嗎？豎直距離呢？它每一次相差多少？
灰色那顆對照球和拋出去的球，誰先落地？把發射角度調到 $90^\circ$ 再看一次。