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EXP_11

🔮 單擺運動實驗

實驗介紹

本實驗模擬單擺的運動，並提供多種進階分析工具。您可以調整擺長 $L$、重力加速度 $g$、初始角度 $\theta_0$ 與阻尼係數，觀察單擺的振幅與週期變化。

進階功能

  • 📐 力分解 — 顯示重力分解為切向分量 $mg\sin\theta$ 與徑向分量 $mg\cos\theta$
  • 📊 相空間圖 — 繪製角速度 $\omega$ 對角度 $\theta$ 的軌跡
  • ⏱️ 自動週期量測 — 偵測零交叉點，即時顯示量測週期與理論值的比較
  • 🌀 阻尼控制 — 調節阻尼係數，觀察振幅衰減與能量耗散
  • 📐 小角度近似比較 — 疊加顯示 $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ 的解析解

物理知識

單擺的運動方程

精確的運動方程為：

\[\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\sin\theta = 0\]

小角度近似（$\theta < 15°$）下，$\sin\theta \approx \theta$，方程簡化為簡諧運動：

\[\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\theta = 0\]

解為 $\theta(t) = \theta_0 \cos(\omega_0 t)$，其中 $\omega_0 = \sqrt{g/L}$。

週期公式

情境 週期公式
小角度近似 $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$
大角度修正 $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\left(1 + \frac{1}{16}\theta_0^2 + \cdots\right)$

單擺的能量

  • 位能：$U = mgL(1 - \cos\theta)$
  • 動能：$K = \frac{1}{2}mL^2\dot{\theta}^2$
  • 機械能守恆：無阻尼時 $U + K = \text{const}$

相空間

相空間圖以 $\theta$ 為橫軸、$\dot{\theta}$ 為縱軸。無阻尼時軌跡為封閉橢圓；有阻尼時軌跡向內螺旋收斂至原點（平衡位置）。

生活中的單擺

  • 🕰️ 擺鐘：老式掛鐘就是用單擺的等時性來計時
  • 🎢 盪鞦韆：小朋友盪鞦韆就是單擺運動（小角度時）
  • 🔬 地震儀：用擺錘的慣性來偵測地面晃動
  • ⚖️ 傅科擺：展示地球自轉的經典實驗
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📊 實驗探究思考

  1. 開啟力分解，觀察擺球在不同位置時，切向分量 $mg\sin\theta$ 和徑向分量 $mg\cos\theta$ 的大小如何變化？在最高點和最低點各有什麼特徵？
  2. 觀察相空間圖（$\theta$ vs $\omega$），無阻尼時軌跡是什麼形狀？加入阻尼後軌跡如何變化？
  3. 比較量測週期和理論週期 $T = 2\pi\sqrt{L/g}$。當初始角度增大到 90° 時，兩者的差異有多大？
  4. 開啟小角度近似，觀察藍色（數值解）和黃色虛線（近似解）在相空間中的差異。為什麼大角度時兩者會分離？
  5. 將阻尼係數調到最大，觀察能量長條圖中總能量如何隨時間衰減。