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EXP_20

🏗️ 滑輪組

實驗介紹

滑輪組的公式只有兩條，難的是那個 $n$ 到底是什麼——它不是滑輪的顆數，是畫面上數得出來的繩段數。

  • 承擔重物的繩段是藍色的，還編了號 ①②③④。不承擔的（例如垂下來讓你拉的那一段自由端）是灰色的，標著「不計」。
  • 切換上面那個下拉，繩子會整條重繞——同一條繩子真的走了一條不同的路，編號跟著變，因為段數是繞出來的。
  • 左邊的 h 尺標量物體上升了多少，右邊的 s 尺標量你的手移動了多少。拉的同時兩條一起長，但長的速度不一樣。
  • 畫面下方兩行會跟著跳，那就是答案：

4 段繩子分擔 460 N　→　手的力 F = 460 ÷ 4 = 115.0 N

s ÷ h = 4　（4 段繩子，手就得多拉 4 倍的距離）

物理知識

n 是數出來的，不是背下來的

一個滑輪組的「省力倍數」$n$，指的是有幾段繩子直接承擔著重物。就這麼一句話，但它在畫面上很難數——繩子在滑輪之間繞來繞去，哪些算、哪些不算？

判準是：每一顆動滑輪，繩子從它的兩邊兜住它，那就是兩段。動滑輪會跟著重物一起上升，所以撐住動滑輪的繩子，就是撐住重物的繩子。定滑輪掛在天花板上不動，繩子只是「跨過去」，那不承擔重物。

所以：

\[\begin{aligned} n &= 2 \times (\text{動滑輪的顆數}) \\[2pt] &+ (\text{繩頭綁在動滑輪上？}) \end{aligned}\]

數一數動滑輪有幾顆，再從畫面上確認編號，兩個數字一定會一樣。

兩條公式，一個帳本

\[\begin{aligned} F &= \frac{G + G_{動}}{n} + f \\[2pt] s &= n\,h \end{aligned}\]
  • $G$：物體的重量（N）
  • $G_{動}$：動滑輪和它的框的重量（N）。定滑輪不算——它掛在天花板上，沒有被提起來
  • $n$：段數（上面數出來的那個）
  • $f$：摩擦阻力（N）。每拉 1 公尺的繩子，要額外對抗的力
  • $h$：物體上升的高度（m）
  • $s$：繩端（手）移動的距離（m）

第二條 $s = nh$ 反直覺得多。它說：手移動的距離是物體上升距離的 $n$ 倍。

為什麼？因為 $n$ 段繩子把重物撐住了，每一段都要縮短 $h$ 才能讓重物上升 $h$。這 $n$ 段繩子是同一條繩子，所以繩子的其中一端（你拉的那一端）總共被抽走了 $n \cdot h$。

兩條公式其實是同一件事。手出的力變成 $1/n$，但手要拉 $n$ 倍的距離——乘起來，功一模一樣：

\[\begin{aligned} W = F \cdot s &= \frac{G + G_{動}}{n} \times n\,h \\[2pt] &= (G + G_{動})\,h \end{aligned}\]

這就是「省力不省功」。滑輪組讓你省力，但它從來沒有讓你少作功。

用具體數字看一次

物重 $G = 400$ N、動滑輪＋框 $G_{動} = 60$ N、不計摩擦，把 $n$ 從 2 一路切到 5：

  • 手的力從 230 N 掉到 92 N（只剩 23%）——看起來省了很多
  • 但手拉的距離從 $2h$ 變成 $5h$——多拉了 2.5 倍
  • 乘起來永遠是 $460h$，一格都沒動

力小了，距離就長了。乘起來的功一樣多。

奇動偶定：繩頭綁在哪裡

仔細看每一種繞法，繩子的那一頭（圖上圈起來的綠色點，標著「固定端」）位置會跳：

段數 $n$ 繩頭綁在 手拉的結局
偶數（2、4） 定滑輪那一側（天花板） 往下拉
奇數（3、5） 動滑輪的框上 往上拉

這不是誰規定的口訣，是繞線順序的必然結果：繩子從第一顆滑輪開始，一進一出、一上一下地繞過去，繞到最後繩頭落在哪一側，取決於總共繞了奇數次還是偶數次。

（往下拉還是往上拉，哪一種比較順手？搬東西上樓的時候，你是往下拉繩子還是往上拉繩子？——這就是「往哪個方向拉」有時候比「省多少力」更重要的地方。）

動滑輪本身也有重量

把「動滑輪＋框重」這個滑桿拉到 0，$F$ 會掉下去一點點——那些多出來的力是在對抗動滑輪和它的框自己的重量。它們跟著重物一起上升 $h$，所以要作的額外功是 $G_{動} \cdot h$。

定滑輪就沒有這個問題——它掛在天花板上，繩子只是滑過它，它自己一動也不動，所以 $G_{動}$ 裡不算定滑輪。

省力有極限嗎？

$n$ 在分母，所以省力的效果一次比一次小。切換上面那個下拉，盯著「手的拉力 F」和「F ÷ G（力剩幾成）」兩張卡片（$G = 400$ N、$G_{動} = 60$ N、摩擦拉到 0）：

段數 $n$ 2 3 4 5
手的拉力 $F$ 230 N 153 N 115 N 92 N
力剩幾成 58% 38% 29% 23%
  • $n$ 從 1 加到 2，力砍半——效果最大
  • $n$ 從 4 加到 5，只再省下 20%
  • $n$ 再怎麼加，它永遠碰不到 0

因為分母是 $n$，不是 $2^n$。想再省一半的力，你得把段數加倍（從 4 段變 8 段），而那意味著手要多拉一倍的距離、繩子要長一倍、滑輪要多一倍。

還有一個跨不過去的下限：$f$。不管 $n$ 多大，$F$ 都不可能低於摩擦阻力——把「摩擦阻力 f」那一支拉起來，四張卡片會一起往上跳，從此 $F$ 就停在那條線之上。

生活中的滑輪組

現象 為什麼
🏗️ 工地上的吊車吊鉤 好幾顆滑輪疊在一起，繩子繞成很多段——起重機吊得動幾十噸，靠的就是 $n$ 大
🚩 旗桿上的定滑輪 $n = 1$，完全不省力。它存在的唯一目的是讓你在下面往下拉，旗子在上面往上升
🪟 百葉窗的拉繩 一串小小的滑輪組——往下拉一小段，葉片跑一大段
🏋️ 健身房的滑輪配重 換一個掛鉤的位置就換一種繞法，所以同樣的配重塊可以有兩三種「重量」
⚓ 帆船的索具 桅杆和帆桁之間塞滿了滑輪組，一個人就能拉緊整面帆
🪣 井上的轆轤 嚴格說是輪軸不是滑輪組（軸上繞繩、輪上施力），但同樣是「省力不省功」
// REAL-TIME DASHBOARD
// HEIGHT GRAPH

📊 實驗探究思考

  1. 把「繩子繞成幾段」切換一輪，仔細數畫面上藍色有編號的繩段。切到 4 段的時候，畫面上總共有幾顆滑輪？切到 5 段的時候呢？那為什麼同一組滑輪可以有兩種不同的「省力倍數」？
  2. n 是奇數的時候，繩子的那一頭綁在動滑輪的框上；n 是偶數的時候綁在天花板。這個規律不是誰規定的——從繩子一進一出繞過每一顆滑輪的走法，你能自己把它推出來嗎？
  3. 拉著手讓它跑，同時盯著左右兩個尺標。手往下拉了 100 cm 的時候，物體上升了幾公分？如果這個滑輪組是 4 段繩子，那 400 cm 的繩子跑到哪裡去了？
  4. 把「動滑輪＋框重」從 0 慢慢加大，手的力會跟著變。但物體本身的重量並沒有變——那些多出來的力是在對抗什麼？如果動滑輪是沒有重量的、也沒有摩擦，F 會等於多少？
  5. 拉到一半停住，把 n 從 2 切到 5。物體的高度當場跳到另一個位置——可是你的手明明沒有動過。這件事在說什麼？（提示：固定的東⻄到底是「手拉的距離」還是「物體上升的距離」？）