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EXP_06

📈 波形圖與振動圖

實驗介紹

畫面上是兩張上下堆疊的正弦曲線，長得幾乎一樣，但橫軸完全不同：

  • 上面那張是波形圖 y–x，橫軸是位置：它把某一瞬間整條繩子上每一顆質點的位移畫出來。
  • 下面那張是振動圖 y–t，橫軸是時間：它畫的是某一顆質點在最近 4 秒裡的位移。

按「開始」，兩張圖一起動。波形圖上每一顆質點都有一支橘色箭頭，那是它這一刻的速度，箭頭愈長代表動得愈快；紅色的那一顆是「被追蹤的質點」，下面那張圖畫的就是它。

  • 在波形圖上點一下（點在哪個高度都可以），最靠近的質點就變成被追蹤的那一顆，下面那張圖立刻換成它的。
  • 把行進方向切成「向左」，波形圖上所有箭頭會在同一瞬間全部反過來。
  • 拉頻率和振幅，看波長與箭頭長度怎麼變。

物理知識

兩張圖的橫軸是正交的

  波形圖 y–x 振動圖 y–t
橫軸 位置 $x$ 時間 $t$
縱軸 位移 $y$ 位移 $y$
看的是 某一瞬間、所有質點 某一顆質點、所有時間
問的問題 整條繩子現在長什麼樣？ 這一顆現在怎麼動？

波形圖是「把時間停住，把整條繩子看一遍」；振動圖是「把位置釘住，把時間看一遍」。兩張都是正弦曲線，但一個橫軸是公尺、一個是秒，同一個點在兩張圖裡代表的意思完全不一樣。

兩張圖都可以看出質點往哪邊動

波形圖上，質點的位移寫成

\[y(x,t) = A\sin k(x - vt)\]

對 $x$ 微分得到的是波形圖的斜率，對 $t$ 微分得到的才是質點的速度：

\[v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = -v\,\frac{\partial y}{\partial x}\]

也就是說，波形圖上那一點的斜率決定了質點的運動方向。前面那個負號就是這件事：波往右跑的時候，波峰左邊的質點正在往下、右邊的正在往上——波峰朝誰趕過去，誰就被抬起來；剛被波峰掃過去的，已經在往下走了。反過來，只要知道波往哪邊跑，光看波形圖就能判斷每一顆質點正在往哪裡動。

振動圖上更直接：橫軸本來就是時間，所以

\[v_y = \frac{dy}{dt}\]

振動圖上曲線的斜率就是質點的速度。圖上那一條橘色切線就是在畫這件事——曲線愈陡，質點動得愈快。

速度什麼時候最大

\[\begin{aligned} v_y &= -Akv\cos k(x - vt) \\ &= -A\omega\cos k(x - vt) \end{aligned}\]

$\cos$ 的絕對值最大是 1，所以最大速率是 $A\omega$。它出現在 $\cos = \pm 1$ 的地方，也就是 $y = 0$：

  • 平衡位置（$y = 0$）：速度最大，等於 $A\omega$。振動圖在這些時刻最陡，波形圖上這些質點的箭頭最長。
  • 振幅端點（$y = \pm A$）：速度是 0——質點在那裡煞停、準備回頭。振動圖在這些時刻是水平的，波形圖上這些質點的箭頭整個消失。

這也是為什麼兩個端點和平衡位置的「停留感」差那麼多：端點附近速度接近 0，質點會在那裡磨蹭很久；經過平衡位置時是一口氣衝過去。

把方向切過來會發生什麼

行進方向一換，$\dfrac{\partial y}{\partial t}$ 整個變號，所以每一顆質點的速度同時反過來；而 $y$ 本身只跟當下的波形有關，所以位移一個都沒變。畫面上就是：同一條波形、同一組位置，橘色箭頭全部調頭，波開始往另一邊跑。

生活中的兩張圖

  • 📈 心電圖：貼片固定在胸口某一點，記錄的是電訊號隨時間的變化——那是振動圖。醫院不會去畫「整顆心臟在某一瞬間的電位分布」。
  • 🌊 地震儀：同一個測站、同一支探針，畫出的是地表隨時間的晃動（振動圖）；而「震波傳到哪裡了」看的是另一張圖（波形圖）。
  • 🎸 吉他弦：慢動作攝影裡那條弦的形狀是波形圖；而某一點被撥動後來回振動的影片，畫成圖就是振動圖。
  • 🏄 海上的浮標：浮標只在原地上下（振動圖），海浪的形狀則往岸邊跑（波形圖）。海面本身其實沒有往岸邊搬。
// REAL-TIME DASHBOARD
// HEIGHT GRAPH

📊 實驗探究思考

  1. 為什麼兩張圖長得一模一樣，卻是在講不同的事情？
  2. 波形圖上，被追蹤的質點走到振幅端點時，它的速度箭頭為什麼會縮成 0？
  3. 把行進方向從向右切成向左，質點的速度為什麼會全部反過來，而位移一個都沒變？
  4. 振動圖上曲線最陡的那一瞬間，質點在平衡位置還是振幅端點？
  5. 為什麼「波形圖的斜率」也可以拿來判斷波往哪邊跑？