🎸 弦的張力與節點數

實驗介紹

畫面上是一條兩端釘住的弦，長 2 公尺，被外面的振動器拉著每秒振動 6 次——這個頻率由振動器決定，弦自己不能挑。

按「開始」，弦開始上下振動，右邊的卡片同時跳動。把張力滑桿慢慢往右拉，看波長怎麼變、紅點怎麼一個一個消失。

頻率被振動器鎖在 6 Hz，弦長也鎖在 2 公尺，能動的只有張力。弦上的波速由張力和線密度決定：

\[v = \sqrt{\frac{F}{\mu}}\]

張力 $F$ 越大，波跑得越快。頻率既然固定，波長就只好跟著變長：

\[\lambda = \frac{v}{f}\]

於是同一個 6 Hz 在越緊的弦上對應越長的波長。可是弦只有 2 公尺長，兩端又都被釘死——波長一變長，弦上塞得下的波就變少了。這就是最反直覺的地方：弦拉得越緊，波跑得越快，弦上的波反而越少。

兩端固定的弦上，波是這樣站住的：每一個半波從左邊的釘子出發，走到右邊的釘子剛好結束。要是走到一半就沒地方了，那個波在右端就得被硬生生截斷，留不住。所以弦上容納得下的半波數必須是整數：

\[\frac{2l}{\lambda} = n \quad (n = 1, 2, 3, \dots)\]

$n$ 個半波就有 $n+1$ 個節點（兩端各一個，中間夾著 $n-1$ 個），所以節點數永遠是奇數以外的那種排法：節點數 $N = n+1$，波腹數就是 $n = N - 1$。

把上面三條式子倒著讀，就得到畫面中間那一排換算鏈：

最後那一格才是答案。看得見的是節點數，要調的是張力，中間那三格是把兩端接起來的路。

弦長 2 公尺、線密度 0.01 kg/m、振動頻率 6 Hz：

弦上有 13 個節點（$n = 12$ 個半波）：$\lambda = \dfrac{2 \times 2}{12} = 0.333$ m，$v = 6 \times 0.333 = 2.00$ m/s，$F = 0.01 \times 2.00^{2} = 0.040$ N。
張力拉到 0.36 N 之後只剩 5 個節點（$n = 4$ 個半波）：$\lambda = 1.00$ m，$v = 6.00$ m/s，$F = 0.01 \times 6.00^{2} = 0.360$ N。

張力變成 9 倍，節點數從 13 掉到 5。畫面上一樣是 2 公尺的弦，一條上面擠了 12 個半波，另一條只有 4 個。

張力是連續可調的，可是留得住的 $n$ 只有整數，所以共振張力也只有那幾個值：把 $n$ 代進換算鏈的終點，得到的是一串 $F = \mu\left(\dfrac{2lf}{n}\right)^{2}$。畫面最下面那排階梯就是這一串——每一階是一個留得住的模態。

張力停在兩階之間的時候，弦仍然會用最接近的那一階去回應（你會看到波長和節點數跳到最近的那個整數），但那個模態要的張力跟你給的不一樣，振起來就沒那麼漂亮。畫面上的「共振張力」卡片和「張力」卡片會給你兩個不同的數字，差得越遠，弦離「真的共鳴起來」就越遠。

這也解釋了階梯為什麼用對數刻度：$F$ 和 $n$ 的平方成反比，$n$ 小的那幾階拉得很開，$n$ 大的那幾階擠成一團。用等距刻度畫的話，13 個節點那附近會擠成一條線。

🎸 吉他調音：轉緊弦就是加大 $F$。$F$ 變大、$v$ 變快，同一把琴上同一條弦的頻率就跟著升高——調音鈕轉的其實是波速。
🎻 小提琴的粗弦與細弦：細弦的 $\mu$ 小，同樣張力下 $v$ 比較大，所以同樣長度下頻率比較高。四條弦粗細不同，就是為了在同一把琴上做出四個音。
🥁 鼓面與鼓邊：鼓皮拉得越緊，音越高，跟這裡是同一件事——張力決定波速，波速決定頻率。
📏 Meld 實驗：一根弦掛在音叉上、另一端掛砝碼，改變砝碼重量就能看到弦上出現不同的駐波花樣。花樣（節點數）和砝碼（張力）的對應關係，就是中間那排換算鏈。

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