🏓 脈波的多重反射

實驗介紹

畫面上是一條 8 公尺長的繩子，1.2 公尺的地方有一個凸起的脈波正要往右跑。上面那條是繩子真正的位置（所有波疊起來的結果），下面那條把入射波、反射波、透射波分開畫，顏色各自對應。

兩端各是一面牆，可以選固定端或自由端；4 公尺的地方可以接上一段不同線密度的繩子，那就是界面。
最下面是時間軸：脈波每撞到一次牆或界面，那個位置的三角形就從空心變成實心（還沒撞到的先畫成空心，所以整條軸從一開始就看得到 20 秒的節奏），顏色代表撞到的是哪一種，軸上方那顆徽章寫出這一次套用的規則。
四個開關可以分別關掉入射／反射／透射／合成，一次只看一種波。

按「開始」，脈波開始跑，撞到牆就彈回來，時間軸一個點一個點長出來。把播放速度拉到 0.25× 是慢動作，按單步前進一次走 0.1 秒，把時間軸滑桿往左拖就是回放。

物理知識

撞到牆會怎樣：三種撞擊，三種下場

撞到什麼	反射係數	反射波長什麼樣
固定端（繩子釘在牆上）	$r = -1$	上下顛倒，振幅一樣大——端點本身從頭到尾不動
自由端（繩子套在光滑桿上）	$r = +1$	不顛倒，振幅一樣大——端點會盪到入射波的兩倍
界面（線密度改變的地方）	$r = \dfrac{Z_1 - Z_2}{Z_1 + Z_2}$	一份反射、一份透射，兩份都變小

界面上那條式子裡的 $Z$ 是阻抗，由繩子的張力 $T$ 與線密度 $\mu$ 決定：

\[\begin{aligned} Z &= \sqrt{T\mu} \\ v &= \sqrt{\frac{T}{\mu}} \\ \tau &= 1 + r \end{aligned}\]

同一條繩子（張力一樣）接上線密度 4 倍的粗繩之後，$Z$ 變成兩倍、波速變成一半。這一頁預設的數字是 $Z_1 = 1.00$、$Z_2 = 2.00$，於是

\[\begin{aligned} r &= \frac{1 - 2}{1 + 2} = -\frac{1}{3} \approx -0.33 \\ \tau &= 1 + r = \frac{2}{3} \approx 0.67 \end{aligned}\]

那一顆 2 公分的脈波，撞到界面之後

2.00 公分走 2.8 公尺到界面，花了 0.70 秒。
反射回來的那一份是 $2.00 \times \frac{1}{3} = 0.67$ 公分，而且上下顛倒（$r$ 是負的）——它往回走，1.00 秒後撞上左邊的牆。
透射過去的那一份是 $2.00 \times \frac{2}{3} = 1.33$ 公分。它在比較重的右段上跑得慢（2.00 m/s），而且被壓得比較扁：寬度只剩原來的一半。
兩份都不是全部：能量被拆成兩半，其中透射帶走的多一些——$r^2 + \tau^2 \dfrac{v_1}{v_2} = \frac{1}{9} + \frac{4}{9} \times 2 = 1$，剛好收支平衡。

⚠️ 同一顆界面，兩個方向的反射不一樣。 脈波從左邊（輕）撞過去時 $r = -\frac{1}{3}$，反射波上下顛倒；從右邊（重）撞回來時 $r = +\frac{1}{3}$，反射波不顛倒。所以畫面上會同時看到「顛倒的回波」和「不顛倒的回波」——它們真的來自同一顆界面。

為什麼畫面上會愈來愈多顆脈波

每撞一次界面就多一顆。第一顆反射回來的撞到左牆、又往界面走，再分一次；透射過去的那一顆撞到右牆、折回來撞界面，也再分一次。20 秒之內會生出 500 多顆，可是絕大多數一代比一代小——一顆脈波來回界面一趟，淨效果是乘上 $\frac{2}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{8}{9}$，所以畫面上看到的仍然是幾顆跑得比較快的，加上一堆愈來愈扁的小脈波。

⚠️ 振幅不是只會變小。透射係數要看是從哪一邊傳到哪一邊：從輕的傳進重的，$\tau = \frac{2}{3}$（變小）；從重的傳回輕的，$\tau = \frac{4}{3}$（變大）。畫面上真的會出現一顆比它上一代還高的脈波，最高可以到 1.78 公分——那不是畫錯，是波從重的那一段傳回輕的那一段時，透射係數本來就大於 1。

時間軸上的點為什麼排成那樣

兩段一樣（沒有界面）：只有兩面牆。脈波走 8 公尺來回一趟是 2.00 秒，所以事件點每隔 2.00 秒出現一次，左右交替，20 秒正好 10 個。
接上界面：有三個地方會被撞——界面、左端、右端。每一處都是每 2.00 秒被撞一次（左段來回 2.00 秒、右段來回 4.00 秒），可是三處錯開了，所以時間軸上看起來幾乎每 1.00 秒就有一個點。
為什麼 3.70 秒那個位置是空的？那一刻撞上左牆的那一顆只有 0.22 公分，在畫面上是兩個像素——跟繩子本身一樣細，所以不標。時間軸只標振幅 0.30 公分以上的撞擊（圖例最後一項寫著這件事），更小的脈波照樣在繩子上跑、照樣畫出來，只是不再給它一個點。

生活中的來回反射

🏓 回聲：對著山谷喊一聲，聲音在兩面山壁之間來回彈，所以你會聽到「喂——喂——喂」一聲比一聲小。時間軸上那排愈來愈密的點，就是回聲在時間上的長相。
📡 雷達與超聲波：發一個脈衝出去，量它多久之後回來，就知道障礙物多遠。如果回來的訊號有兩三個、間隔固定，那代表中間不只一層界面。
🎸 弦上的駐波：撥一下弦，波就在兩端之間來回反射。它其實一直在撞牆，只是所有回波疊起來之後剛好站住不動，看起來像一個不會跑的波形。
🔌 電纜斷點測試：訊號在電纜裡來回反射的道理跟繩子完全一樣，工程師就是用「發一個脈衝、看它多久彈回來」找出電纜斷在哪裡。

// REAL-TIME DASHBOARD

📊 實驗探究思考

同一個脈波撞上固定端會上下顛倒、撞上自由端卻不顛倒。這兩種端點在「端點能不能動」上有什麼不一樣？
兩段一樣時，事件點每隔 2.00 秒出現一次；接上界面之後變成幾乎每 1.00 秒一個點。多出來的撞擊是撞在哪裡？
同一顆界面，脈波從左邊過去時反射波上下顛倒，從右邊回來時卻不顛倒。畫面左邊那三條公式裡，哪一條在管這件事？
脈波每撞一次牆就分掉一部分能量。把時間軸拖到 10 秒以後，畫面上最大的那一顆脈波和原來比起來怎麼樣了？
時間軸只標振幅 0.30 公分以上的撞擊。在畫面上找一顆沒有被標到的脈波，它大概多大？跟繩子本身比起來呢？