🔉 聲波的位移波與壓力波

實驗介紹

畫面上是同一根管子裡的同一股疏密，用兩條曲線畫出來：上面那條是空氣質點的位移（正的是往右），下面那條是壓力變化（向上的是高於大氣壓，也就是密部）。兩條曲線之間有幾條紅色的垂直虛線，把「位移為 0」的位置和「壓力最大」的位置連起來。

按「開始」，兩條曲線一起往右跑。盯住任何一條虛線看：它的上端永遠落在上面那條曲線的平衡線上，下端永遠落在下面那條的波峰或波谷上——兩端從來沒有同時在波峰。灰色和藍色的色帶標出管子裡哪一段被擠緊（藍＝密部、灰＝疏部）。

把「頻率」拉高，波長變短、虛線變密，下面的壓力曲線會跟著長高，而上面的位移曲線高度不變；把「振幅」拉大，兩條曲線一起長高。中間那個「相隔 λ/4」的標記量的是上面那條曲線從平衡位置走到最高點的距離——那就是兩條曲線的相位差。

這一頁是慢動作（和「聲音的產生與傳播」同一組數字，×170）。120 Hz 的聲音一秒振動 120 次，畫面上的頻率、波長、聲速都是真值，只有時間走得多快不是。

物理知識

核心概念

聲波是縱波：空氣質點沿著管子前後振動，疏密沿著同一條線往前傳。同一股疏密可以同時用兩個量來描述，而這兩個量相差四分之一個波長：

位移 s：質點離開原來位置多遠（本頁向上畫成往右）。
壓力變化 p：那一小段空氣比大氣壓高多少（密部）或低多少（疏部）。

擠得最緊的地方（密部），空氣被推離原本的位置了嗎？沒有——位移是 0。質點只是在原地「前後擠」，被擠成一團的那一點反而不在動。

核心公式

壓力變化是位移的空間導數：

\[p \propto -\frac{\partial s}{\partial x}\]

兩個相鄰質點原本相距 $\Delta x$，位移之後變成 $\Delta x\left(1+\dfrac{\partial s}{\partial x}\right)$。 $\dfrac{\partial s}{\partial x}$ 是負的，代表後面的質點追上了前面的質點——距離縮短、被擠緊，壓力就上升。所以壓力變化正比於位移曲線的斜率，而且差一個負號。

位移取 $s = A\sin(k(x-vt))$，代進去得到

\[p = -Ak\cos(k(x-vt))\]

$\sin$ 和 $\cos$ 相差 $90^\circ$，對應到空間上就是 $\lambda/4$：

位置	位移 s	壓力 p
密部中央	0	最大（正）
疏部中央	0	最小（負）
位移最大處	±A	0

還有一個訊息藏在 $Ak$ 裡：壓力變化的振幅是位移振幅的 $k = \dfrac{2\pi f}{v}$ 倍。所以頻率愈高，同樣的位移振幅對應的壓力變化愈大——把頻率拉高時下面那條曲線會長高，就是這件事。

怎麼從畫面讀出來

畫面上的東西	代表什麼
上面那條藍色曲線	空氣質點的位移
下面那條黑色曲線	壓力變化（由位移的斜率算出）
紅色垂直虛線	位移為 0，同時是壓力的極值
虛線上端的紅點	質點正在平衡位置
虛線下端的紅點	那一點被擠得最緊或最鬆
藍色帶／灰色帶	密部（高壓）／疏部（低壓）
「相隔 λ/4」的括號	平衡位置到位移最高點的距離

兩個容易搞錯的地方

一、壓力最大的地方不是位移最大的地方。 密部中央的質點位移是 0，它旁邊一點點的地方位移才最大——兩者相差剛好 $\lambda/4$。畫面上把虛線的兩端連起來看就不會記錯：一端在平衡線、另一端在波峰。

二、壓力波不是另一條波。 它是同一條位移波的斜率，畫面上那條黑色曲線的每一點都是上面那條藍色曲線在該處的陡峭程度。斜率是 0 的地方（位移最高、最低）壓力變化就是 0；斜率最陡的地方（平衡位置）壓力變化最大。

生活中的聲波

🔊 喇叭紙盆：往前推時把前方的空氣擠成密部，往後拉時讓出空間變成疏部，一推一拉就是一個週期
🎤 麥克風：振膜被壓力變化推動，量到的其實是空氣的疏密；它不直接量質點走了多遠
🪟 氣密窗：窗戶擋掉的是聲音傳進來的那股壓力變化，不是空氣跑進來
💥 爆炸：近處的壓力變化可以比大氣壓高很多，那一瞬間的推力就是衝擊波

// REAL-TIME DASHBOARD

📊 實驗探究思考

紅色的垂直虛線為什麼一端落在上面那條曲線的平衡線上、另一端卻落在下面那條的波峰或波谷上？虛線可不可以兩端都落在波峰上？
把頻率從 100 Hz 拉到 180 Hz。上面那條曲線的高度有沒有變？下面那條呢？兩條曲線的高度比例跟著哪一個數字在動？
下面那條曲線的波峰，正好對到上面那條曲線的哪個位置？是最高點、最低點，還是平衡位置？
這根管子裡的空氣換成水（聲速 1500 m/s），同樣 120 Hz 的聲波，波長會變長還是變短？紅色的虛線會變多還是變少？
盯住管子裡某一顆固定的空氣質點。它通過原來位置的那一瞬間，那一點的壓力變化是最大、最小，還是 0？
喇叭的低音和高音一起送出來，哪一個在空氣裡造出的壓力變化比較大？（提示：壓力波的高度和 k = 2πf/v 有關）