💥 音爆與馬赫錐

實驗介紹

畫面上是一段 3400 公尺長的航線（由上往下看），一架飛機沿著中央的虛線從左飛到右，每隔一段時間發出一道黃色的圓形波前。按「開始」，把「波源速率」從 0 慢慢往右拉：

比 340 m/s 慢的時候，波前跑得比飛機快，每一個圓都把飛機包在裡面。
拉到 340 m/s（M = 1）的那一刻，飛機剛好貼在自己發出的波前上跑。
再快下去，飛機跑到圓的外面，前緣疊成一個 V——那兩條深紅色的直線就是 馬赫錐，開口的角度 θ 就在飛機那顆徽章上。

灰色的直角三角形把「為什麼是這個角度」畫出來：斜邊是波源飛過的距離、對邊是同一段時間裡波前跑過的距離。綠色的點是地面上的觀察者，錐面掃過它的那一瞬間會炸開一圈漣漪，那就是音爆。飛機飛到畫面右緣會停在那裡，最後一幀的 V 完整張開。

物理知識

核心概念

波源不動的時候，它發出的波前是一圈一圈的同心圓。波源一動，每一個圓的圓心都留在它被發出的地方：飛機往前走，只是把後來發出的圓心往前挪，已經送出去的圓不會跟著它跑。

於是波源和它自己的波前就開始賽跑。波前以聲速 $v$ 往外擴散，波源以 $v_s$ 前進：

	誰快	畫面
$v_s < v$（M < 1）	波前快	每一個圓都把波源包在裡面，前方的波前擠、後方的疏
$v_s = v$（M = 1）	一樣快	波源貼在波前上跑，每一個圓都穿過它身上
$v_s > v$（M > 1）	波源快	波源跑到每一個圓的外面——它可以對每一個圓畫切線

切線就是那道波前在那一刻的「最前緣」。所有切線共用同一個角度，連起來就是馬赫錐。

核心公式

馬赫數是速度的比值，馬赫角是它的倒數的正弦：

\[M = \frac{v_s}{v} \qquad \sin\theta = \frac{v}{v_s} = \frac{1}{M}\]

為什麼是這個比值？看畫面上那個灰色的直角三角形。波源從錐頂飛到圓心花了 $\Delta t$，所以斜邊是 $v_s\,\Delta t$；同一段 $\Delta t$ 裡，那道波前從圓心擴散出去 $v\,\Delta t$，所以對邊是 $v\,\Delta t$。兩者相除，$\Delta t$ 當場消掉：

\[\sin\theta = \frac{v\,\Delta t}{v_s\,\Delta t} = \frac{v}{v_s}\]

這就是為什麼每一道波前的切線角度都一樣：斜邊和對邊永遠同比例縮放，三角形長得像，角度就不會變。畫面把三個長度都標出來了，可以直接對著數字除。

音爆：錐面掃到觀察者的那一刻才是音爆。波源飛到觀察者正上方是 $t = x/v_s$，錐面還要再走 $h/\tan\theta$ 才下到地面：

\[\Delta t = \frac{h}{\tan\theta \cdot v_s} = \frac{h\sqrt{M^2-1}}{M v}\]

M 從 1 往上漲，$\Delta t$ 從 0 單調增加到極限值 $h/v$——音爆最多只會晚「聲音從飛機高度垂直下來」那麼久，再快也一樣。

怎麼從畫面讀出來

畫面上的東西	代表什麼
黃色圓圈	一道波前；圓心是它被發出的地方，不是飛機現在的位置
深紅色直線	馬赫錐（所有波前的共同切線）
錐頂的紅色弧線	馬赫角 θ，從正後方量到切線
灰色直角三角形	$\sin\theta = $ 對邊 ÷ 斜邊＝ $v\,\Delta t \div v_s\,\Delta t$
切點的灰色小直角	半徑垂直於切線——$\sin\theta$ 成立的原因
綠色點（含虛線）	觀察者，以及它離航線的距離 $h$（畫面上是 600 公尺）
綠色點炸開的漣漪	錐面掃過去＝音爆的那一刻

兩個容易搞錯的地方

一、音爆不是「飛機飛到頭頂」的那一瞬間。 飛機早在幾秒前就過去了，聲音是後來才到的。畫面上觀察者的狀態會從「還沒聽到」變成「已經聽到音爆」，而右上那張卡片寫的就是它晚了幾秒。超音速飛機聽起來「先看到人、後聽到聲音」就是這件事。

二、那道 V 不是「波前被壓成一條線」。 黃色的圓還是圓，一道都沒有變形；深紅色的直線只是它們的共同切線，把每一道波前的最前緣連起來而已。波源的速度只決定這個 V 張得多開，不決定波前變成什麼形狀。

生活中的音爆

💥 超音速戰機的爆響：不是引擎聲，是錐面（衝擊波）掃過你所在位置的那一下
🚢 船首波：船速超過水波波速時，船頭後面拖出的那個 V 就是同一件事，只是介質換成水
🏎️ 子彈的爆裂聲：步槍子彈出膛速度約 800 m/s，遠超過 340 m/s，飛過去的「啪」就是錐面
🎇 甩鞭子：鞭梢的速度可以超過音速，那一聲清脆的爆響其實是一個小小的音爆

// REAL-TIME DASHBOARD

📊 實驗探究思考

把速度拉到比 340 m/s 快一點點和快很多，V 的開口哪一個比較窄？為什麼「飛得越快，V 越尖」？
黃色的圓圈每一道都還是圓的——那兩條深紅色的直線跟這些圓是什麼關係？它們是圓的一部分嗎？
綠色觀察者的上方有一條錐面掃過的界線。波源飛到它正上方是什麼時候？音爆是什麼時候？為什麼兩個時刻差這麼多？
觀察者離航線愈遠（把「觀察者離航線」這一格想成飛機高度），音爆會更早還是更晚？如果飛機就在頭頂正上方飛過去呢？
速度剛好等於聲速的那一瞬間，畫面上有沒有 V？那時候的波前長什麼樣子？
如果這架飛機飛在 340 m/s 的空氣裡，但速度只有 300 m/s，它發出的波前會前緣堆疊嗎？