💧 水波的干涉 - Physics Lab

實驗介紹

畫面上是一座水槽的俯視圖，左邊插著兩根針，右邊是牠們送出的波。

按「開始」，兩根針就會同步上下振動，各自送出一圈一圈的圓形波。整片顏色就是這一刻的水面高低——橙是波峰、藍是波谷，白色是水面。左下角有顏色圖例可以對照。

兩組圓波疊在一起之後，水面會出現一組從針尖往右張開的條紋：有些方向的水一直在動，有些方向的水幾乎不動。那些條紋就是這一頁要看的東西。

拉「兩根針的距離 d」：條紋會一條一條長出來——新的一條是從最外側冒出來的。
拉「波長 λ」：同一組條紋會整個張開或收窄。
把「兩根針的相位」切成「反相」：整組明暗當場對調，正中央那條從亮的變成不動的。

「輔助線」那個下拉可以把畫在水面上的腹線、節線單獨留下來看。每一條線的末端標著它的波程差 Δ，拖 d 的時候可以對照。

物理知識

核心概念

兩根針是同調的：它們的頻率一樣、相位差固定，所以水面上任何一點收到的兩列波，相位差也是固定的——固定的相位差就是「一直加強」或「一直減弱」，不會今天加強明天減弱。

決定加強還是減弱的，是波程差：從兩根針分別走到那一點，路徑長度差了多少。記這個差為 $\Delta r$，波長為 $\lambda$：

波程差	兩列波抵達時	那一點的水面
$\Delta r = 0,\ \lambda,\ 2\lambda,\dots$	同相	一直加強 → 腹線
$\Delta r = \tfrac{1}{2}\lambda,\ \tfrac{3}{2}\lambda,\dots$	反相	一直抵消 → 節線

腹線是一條雙曲線。 到兩個定點距離差固定的點的軌跡就是雙曲線，所以每一條腹線都是「以兩根針為焦點的一條雙曲線」。兩根針正中間的那一條是直線（$\Delta r$ 永遠是 0，它就是中線本身），其他的都往兩側彎開。

拖「兩根針的距離 d」的時候，條紋之所以會一條一條長出來：波程差能取的值介於 0 和 d 之間，$d$ 跨過 $m\lambda$ 的那一刻，第 $m$ 條腹線才剛剛從針尖後面冒出來。

核心公式

最內側那一條腹線（$\Delta r = \lambda$）和正中央那條線的夾角 $\theta_1$：

\[\sin\theta_1 = \frac{\lambda}{d}\]

看畫面上那條黃線和它的灰三角形：最內側腹線離中線愈遠，夾角就愈大，而 $\lambda$ 愈大、$d$ 愈小，它就張得愈開。這也是為什麼條紋的疏密只看 $d \div \lambda$ 這一個比值——波長加倍、針距也加倍，畫面一模一樣。

兩種波源的分別要在這裡說清楚：這一頁的兩根針是點波源，往四面八方均勻地送波。繞射那一頁的開口是一整排點波源排成的一條線，它送出的波在斜的方向上會自己抵消掉一部分。所以同一組公式在兩頁裡的樣子不一樣，不要把它們混著用。

腹線和節線各有幾條

腹線的條數只由 $d \div \lambda$ 決定。波程差最大只能到 $d$，所以只要 $m\lambda < d$，第 $m$ 條腹線就畫得出來；$\Delta r = m\lambda$ 和 $\Delta r = -m\lambda$ 各是一條，而中線（$\Delta r = 0$）只有一條，所以：

\[\text{腹線條數} = 2m_{\max} + 1\]

$m_{\max}$ 是比 $d \div \lambda$ 小的最大整數。這裡用的是「小於」不是「小於等於」：波程差剛好等於 $d$ 的那一條，會退化成兩根針連線上的一條射線，不是扇形裡的一條條紋，所以不算。所以 $d \div \lambda$ 剛好是整數時（畫面上預設的 $150 \div 50 = 3$ 就是），最外側那一條被扣掉——直接數的話會多算兩條。

節線在 $\Delta r = (m + \tfrac{1}{2})\lambda$ 上，所以：

\[\text{節線條數} = 2\left\lceil \frac{d}{\lambda} - \frac{1}{2} \right\rceil\]

$d \div \lambda$ 不到二分之一時一條節線都沒有——整個水槽都沒有一個地方是靜止的。上面兩條式子都是兩根針同相的情形；把相位切成反相時，兩組整個對調。

怎麼從畫面讀出來

畫面上的東西	代表什麼
橙／藍的顏色	這一刻的水面高低（橙是波峰、藍是波谷）
橙色實線	腹線：$\Delta r = m\lambda$，兩列波同相抵達
灰色虛線	節線：$\Delta r = (m+\tfrac{1}{2})\lambda$，兩列波反相抵達
線末端的標籤	那一條線的波程差，例如「Δ = 2λ」
兩根針	兩個點波源；它們的距離就是 $d$
針尖那條黃線與灰色直角三角形	$\sin\theta_1 = \lambda/d$ 的那個角

兩個容易搞錯的地方

一、腹線不是「水最高的那一條線」。 腹線上的水一直在動，而且振幅是附近最大的；節線上的水幾乎不動。畫面上橙藍相間的地方一直在變，但腹線的位置不動——條紋不會跟著水跑。

二、畫在線上的 Δ 是精確的，但亮的地方不完全落在線上。 兩列波在線上確實同相抵達（這件事沒有誤差），可是振幅是 $1/\sqrt{r}$ 疊出來的：離針愈遠，波愈弱，兩邊的衰減量不一樣，於是水面最亮的那一條脊線會被往內側拉一點點。兩根針拉得太近、波長又太長的時候，這個內拉會大過條紋本身的寬度，整個干涉圖樣就散掉了——所以「兩根針的距離 d」這支滑桿的下限是量出來的，拉到最小時畫面仍然是清楚的條紋。

三、反相不是把畫面左右翻過來。 兩根針反相時，中線上兩列波正好差半個波長，永遠互相抵消——正中央從腹線變成節線，整組腹線與節線的位置互換。

生活中的干涉

🎧 降噪耳機：偵測環境噪音，再送出一個反相的聲波，兩者在耳道裡抵消
🛥️ 兩艘船在水面上的波紋：牠們造出的波疊在一起，有些方向始終顛簸、有些方向特別平靜
📡 無線電的干涉儀：兩座相隔很遠的天線收同一個訊號，靠波程差推回訊號從哪個方向來
🌈 肥皂泡上的顏色：薄膜上下兩個表面的反射光互相干涉，不同波長在不同厚度抵消

// REAL-TIME DASHBOARD

📊 實驗探究思考

把兩根針的距離 d 從最小慢慢拉大。腹線是一條一條長出來的，還是整組一起變？新的一條從哪裡冒出來？
「d ÷ λ」這張卡片調到 2.0、3.0、4.0，數一數腹線有幾條。腹線條數和這個比值之間是什麼關係？
把相位切成「反相」。正中央那一條本來是腹線還是節線？整個畫面有幾條腹線、幾條節線跟著對調了嗎？
「最內側腹線夾角 θ₁」在 d 變大時是變大還是變小？把 λ 也一起加倍，它會不變嗎？試著找到兩組（d、λ）讓 θ₁ 差不多，看看那時候 d ÷ λ 是不是也差不多。
輔助線切成「只看節線」。節線把畫面切成幾塊？每一塊裡的兩根針是同相還是反相？
水面上藍橙相間的地方一直在動，條紋本身有沒有跟著動？沿著一條腹線從針尖往外看，它在針尖附近是寬的還是窄的？
兩艘船在水面上各自造出一組波。什麼情況下牠們會互相抵消、什麼情況下會疊得更高？畫面上哪一張卡片在說這件事？